Calcolo Esempi

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{10}{3 x^{3}})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10}{3 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{10}{3} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.4.1

$- 3$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 10}{3} x^{- 4}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $10$ .

$\frac{- 30}{3} x^{- 4}$

Passaggio 1.4.3

$\frac{- 30}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 30 x^{- 4}}{3}$

Passaggio 1.4.4

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $- 30$ e $3$ .

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Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $3$ da $- 30$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{4})}$

Passaggio 1.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 10}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 10 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 4$ per $- 10$ .

$40 x^{- 5}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2.5.2

$40$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{40}{x^{5}}$