Calcolo Esempi

$y = \ln (3 x^{2} + 3 x + 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 3 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + 0)$

Passaggio 1.2.9

Somma $6 x + 3$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 6}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 6}$

Passaggio 1.3.2.3

Scomponi $3$ da $6$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $6 x + 3$ per $\frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$ .

$\frac{6 x + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.4

Elimina il fattore comune di $6 x + 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Passaggio 1.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 2 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Riscrivi ${(2 x + 1)}^{2}$ come $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - ((2 x + 1) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.3

Espandi $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.7.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.2.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.2.1.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.4.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 4 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.7.2.1.6.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.3

Sottrai $4 x$ da $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.6

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.8

Riscrivi $- (2 x^{2} + 2 x - 3)$ come $- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$