Calcolo Esempi

$y = e^{- x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{- x})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$e^{- x} (- x')$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $e^{- x} (- x')$ .

$- e^{- x} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - e^{- x} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- e^{- x} x' = 1$ .

$- e^{- x} x' = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $- e^{- x}$ ciascun termine in $- e^{- x} x' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- e^{- x}$ ciascun termine in $- e^{- x} x' = 1$ .

$\frac{- e^{- x} x'}{- e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- x} x'}{e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} x'}{e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.2.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x}}$