Calcolo Esempi

$x^{3} + 2 x y - y^{2} = 11$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (11)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x y - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - (2 y y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + 2 (x y' + y) - 2 y y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 2 (x y') + 2 y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} + 2 x y' + 2 y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 2 x y' - 2 y y' + 2 y$

Passaggio 3

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 2 x y' - 2 y y' + 2 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' - 2 y y' = - 3 x^{2} - 2 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y'$ da $2 x y' - 2 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 3 x^{2} - 2 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 3 x^{2} - 2 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 3 x^{2} - 2 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (x - y)$ ciascun termine in $2 y' (x - y) = - 3 x^{2} - 2 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (x - y)$ ciascun termine in $2 y' (x - y) = - 3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y}{x - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x - y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{x - y}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (2 y)}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y)}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.9.1

Riscrivi $- (3 x^{2} + 2 y)$ come $- 1 (3 x^{2} + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y)}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} + 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + 2 y}{2 (x - y)}$