Calcolo Esempi

$x^{3} - y^{5} + 3 x^{2} - 6 y = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{5} + 3 x^{2} - 6 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - y^{5} + 3 x^{2} - 6 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{5}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 x^{2} - (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - (5 y^{4} y') + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 y$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 6 x - 6 y'$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - 5 y^{4} y' + 6 x - 6 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y^{4} y' + 6 x - 6 y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y^{4} y' - 6 y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- 5 y^{4} y' - 6 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- 5 y^{4} y'$ .

$y' (- 5 y^{4}) - 6 y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 6 y'$ .

$y' (- 5 y^{4}) + y' \cdot - 6 = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 5 y^{4}) + y' \cdot - 6$ .

$y' (- 5 y^{4} - 6) = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 5 y^{4} - 6$ ciascun termine in $y' (- 5 y^{4} - 6) = - 3 x^{2} - 6 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 5 y^{4} - 6$ ciascun termine in $y' (- 5 y^{4} - 6) = - 3 x^{2} - 6 x$ .

$\frac{y' (- 5 y^{4} - 6)}{- 5 y^{4} - 6} = \frac{- 3 x^{2}}{- 5 y^{4} - 6} + \frac{- 6 x}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5 y^{4} - 6$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 5 y^{4} - 6)}{- 5 y^{4} - 6} = \frac{- 3 x^{2}}{- 5 y^{4} - 6} + \frac{- 6 x}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 5 y^{4} - 6} + \frac{- 6 x}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 6 x}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 x (- x) - 6 x}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$y' = \frac{3 x (- x) + 3 x (- 2)}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (- x) + 3 x (- 2)$ .

$y' = \frac{3 x (- x - 2)}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{3 x (- (x) - 2)}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{3 x (- (x) - 1 (2))}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{3 x (- (x + 2))}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- 5 y^{4} - 6}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 5 y^{4}$ .

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- (5 y^{4}) - 6}$

Passaggio 5.3.3.8

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- (5 y^{4}) - 1 (6)}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (5 y^{4}) - 1 (6)$ .

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- (5 y^{4} + 6)}$

Passaggio 5.3.3.10

Riscrivi $- (5 y^{4} + 6)$ come $- 1 (5 y^{4} + 6)$ .

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- 1 (5 y^{4} + 6)}$

Passaggio 5.3.3.11

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x (- 1 (x + 2))}{- 1 (5 y^{4} + 6)}$

Passaggio 5.3.3.12

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x (x + 2)}{5 y^{4} + 6}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (x + 2)}{5 y^{4} + 6}$