Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$ come ${(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - c x$ e $g (x) = 1 + c x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [1 - c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - c x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (0 + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [- c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Poiché $- c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- c x$ rispetto a $x$ è $- c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \frac{d}{d x} [x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \cdot 1) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + c x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (0 + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.10

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \cdot 1)}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.1

Moltiplica $c$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 9.12.2

Moltiplica $\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.12.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 \cdot {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 + c x}{1 - c x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + c x}{1 - c x}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) + (- 1 \cdot 1 - (- c x)) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2

Riscrivi $- 1 c$ come $- c$ .

$\frac{- c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.3

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.4

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c^{1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- c + c^{1 + 1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- c + c^{2} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $c^{2} x$ .

$\frac{- c - 1 \cdot (c^{2} x) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.8

Riscrivi $- 1 c^{2}$ come $- c^{2}$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.10

Riscrivi $- 1 c$ come $- c$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + 1 (c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.12

Moltiplica $c$ per $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c x c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.13

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.14

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c^{1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1 + 1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.16

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.17

Sottrai $c$ da $- c$ .

$\frac{- 2 c - c^{2} x + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.18

Somma $- c^{2} x$ e $c^{2} x$ .

$\frac{- 2 c + 0}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.19

Somma $- 2 c$ e $0$ .

$\frac{- 2 c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.20

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.20.1

Scomponi $2$ da $- 2 c$ .

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.20.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- c)}{2 ({(1 + c x)}^{2})} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.22

Moltiplica $\frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{c}{{(1 + c x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}} c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2}}$

Passaggio 10.6.23

Sposta ${(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.24

Moltiplica ${(1 + c x)}^{2}$ per ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.24.1

Sposta ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2})}$

Passaggio 10.6.24.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Passaggio 10.6.24.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.6.24.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 10.6.24.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 10.6.24.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.24.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Passaggio 10.6.24.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{3}{2}}}$