Calcolo Esempi

$x^{2} y = 1 + y^{2} x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + y^{2} x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Passaggio 2.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$x^{2} y' + 2 x y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2} x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$0 + y^{2} + x (2 y y')$

Passaggio 3.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$0 + y^{2} + 2 x y y'$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $y^{2} + 2 x y y'$ .

$y^{2} + 2 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{2} y' + 2 x y = y^{2} + 2 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 x y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' = y^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' - 2 x y y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y'$ .

$x y' x - 2 x y y' = y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $- 2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (- 2 y) = y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x y'$ da $x y' x + x y' (- 2 y)$ .

$x y' (x - 2 y) = y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.4

Dividi per $x (x - 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x - 2 y) = y^{2} - 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x (x - 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x - 2 y) = y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{x y' (x - 2 y)}{x (x - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x - 2 y)}{x (x - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} + \frac{- 2 y}{x - 2 y}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} - \frac{2 y}{x - 2 y}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y}{x - 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} - \frac{2 y}{x - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x - 2 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x - 2 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} - \frac{2 y x}{(x - 2 y) x}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(x - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x - 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} - 2 y x}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3.5

Scomponi $y$ da $y^{2} - 2 y x$ .

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Passaggio 5.4.3.5.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - 2 y x}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Scomponi $y$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (y - 2 x)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2 x)}{x (x - 2 y)}$