Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Espandi $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1

Sposta l'esponente $3$ da ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Passaggio 9.6

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.1.4

Somma $3 + 0 + 0$ e $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.1.5

Somma $3 + 0$ e $0$ .

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.1.6

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

Passaggio 11.2.3

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{3}{6^{3}}$

Passaggio 11.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{216}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{216}$

Passaggio 11.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{72}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{72}$

Forma decimale:

$0.013\overline{8}$