Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $h$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Passaggio 1.2

$h$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + h \cdot 2) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.1.7

Calcola il limite di $\cos (\frac{π}{2})$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + 2 \cdot h}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = \cos (h)$ e $g (h) = \frac{π + 2 h}{2}$ .

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Passaggio 2.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π + 2 h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $\frac{π + 2 h}{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $π + 2 h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $π$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2 h$ rispetto a $h$ è $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.9

Somma $0$ e $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 2) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.10

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.11.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.11.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5.2

Poiché $0$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $0$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6

Somma $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Passaggio 3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{h \to 0} \frac{π + 2 h}{2})$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + 2 h)$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h))$

Passaggio 4

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0))$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Passaggio 5.2

Somma $π$ e $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} π)$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$