Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite di $\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2} + 5} - (2 + 1)}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 + 5} - (2 + 1)}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Somma $4$ e $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - (2 + 1)}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - (2 + 1)}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{3 - (2 + 1)}$

Passaggio 1.1.3.2.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 5}$ come ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.11

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.13

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.14

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.15

Sposta ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.16

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.8.17

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x + 1)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 1.3.9.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (1 + 0)}$

Passaggio 1.3.9.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} - 1}$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 1.5.2

$- 1$ e $\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.10

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.11

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}}$

Passaggio 2.12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}}$

Passaggio 2.13

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}}$

Passaggio 2.14

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}{\sqrt{2^{2} + 5}}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{2^{2} + 5}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{4 + 5}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Passaggio 4.2.2

Somma $4$ e $5$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{9}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{3^{2}}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Passaggio 4.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{4 + 5}}$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ e $5$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{9}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - 3}$

Passaggio 4.3.6

Sottrai $3$ da $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{- 1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 + 2) \frac{3}{- 1}$

Passaggio 4.5

Somma $4$ e $2$ .

$6 (\frac{3}{- 1})$

Passaggio 4.6

Dividi $3$ per $- 1$ .

$6 \cdot - 3$

Passaggio 4.7

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$- 18$