Calcolo Esempi

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x + x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + x y' + y \cdot 1$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$1 + x y' + y$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$x y' + y + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y' = x y' + y + 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$ .

$e^{y} \cos (x) + y' e^{y} \sin (x) = x y' + y + 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} \cos (x) + y' e^{y} \sin (x) - x y' = y + 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $e^{y} \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{y} \sin (x) - x y' = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $y' e^{y} \sin (x) - x y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{y} \sin (x)$ .

$y' (e^{y} \sin (x)) - x y' = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (e^{y} \sin (x)) + y' (- x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (e^{y} \sin (x)) + y' (- x)$ .

$y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.5

Dividi per $e^{y} \sin (x) - x$ ciascun termine in $y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $e^{y} \sin (x) - x$ ciascun termine in $y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{y' (e^{y} \sin (x) - x)}{e^{y} \sin (x) - x} = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{y} \sin (x) - x$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{y} \sin (x) - x)}{e^{y} \sin (x) - x} = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} - \frac{e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y + 1}{e^{y} \sin (x) - x} - \frac{e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 5.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y + 1 - e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1 - e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$