Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - 16 x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - lim_{x \to 3} 16 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 16 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 16 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 16 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{45 - 16 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$\frac{45 - 48 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $48$ da $45$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Somma $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 9}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 9}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 9}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x + 9}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x + 9}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 6 \cdot 3 + 9}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{9 - 6 \cdot 3 + 9}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{0}{9 - 18 + 9}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$\frac{0}{- 9 + 9}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Somma $- 9$ e $9$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{x^{2} - 6 x + 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 16 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 16 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 16 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $10 x - 16$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x - 6 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{10 x - 16}{2 x - 6}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $10 x - 16$ e $2 x - 6$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x) - 16}{2 x - 6}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 8}{2 x - 6}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (5 x) + 2 (- 8)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x - 8)}{2 x - 6}$

Passaggio 1.4.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x - 8)}{2 (x) - 6}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x - 8)}{2 x + 2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x - 8)}{2 (x - 3)}$

Passaggio 1.4.4.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 3} \frac{2 (5 x - 8)}{2 (x - 3)}$

Passaggio 1.4.4.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{5 x - 8}{x - 3}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $- \infty$ da sinistra e a $\infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$