Calcolo Esempi

$\log_{x} (2)$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (2)$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 1.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di 0 e non uguali a 1 e $x$ è maggiore di 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2)}{\ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $\ln (2)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\ln (2)}{\ln (x)}$ rispetto a $x$ è $\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{\ln (x)}$ come $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$\ln (2) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\ln (2) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x})$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{x}$ e $\ln^{- 2} (x)$ .

$\ln (2) (- \frac{\ln^{- 2} (x)}{x})$

Passaggio 5.2

Sposta $\ln^{- 2} (x)$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{x \ln^{2} (x)})$

Passaggio 5.3

$\ln (2)$ e $\frac{1}{x \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{\ln (2)}{x \ln^{2} (x)}$