Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - \frac{1}{x}$ . Allora $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $x^{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Passaggio 4

Calcola $e^{u}$ per $- \frac{1}{t}$ e per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Passaggio 5.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Passaggio 5.1.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Passaggio 5.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{t}$ tende a $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite.

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Passaggio 5.3.1

Calcola il limite di $e^{- 1}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$1 - \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$0.63212055 \dots$