Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.12

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

Passaggio 1.3.13

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} - \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{- 0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Passaggio 2.1.3.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 2.1.3.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.10.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Passaggio 2.1.3.10.1.7

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.10.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.10.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.11

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \sin (x) + 5 \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.6

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \sec^{2} (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.11

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.12

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.14

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.15

Moltiplica $\sec^{2} (2 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Passaggio 2.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.7.1.2

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 2.3.7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 2.3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Passaggio 2.3.7.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Passaggio 2.3.7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 (x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Somma $2 \sec^{2} (2 x)$ e $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.1

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.4

Moltiplica $8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.4.1

$8$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.4.2

$x$ e $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.5

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.6

Riscrivi $\tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.7

Combina.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.8

Moltiplica $\cos^{2} (2 x)$ per $\cos (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.8.1

Moltiplica $\cos^{2} (2 x)$ per $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.4.8.1.1

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.8.2

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3.8.4.9

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Passaggio 2.3.8.4.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Passaggio 2.3.8.4.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Passaggio 2.3.8.4.12

$4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per scrivere $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Passaggio 2.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos^{3} (2 x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ per $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $\cos^{2} (2 x)$ per $\cos (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Moltiplica $\cos^{2} (2 x)$ per $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $25$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.9

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.10

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.11

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.12

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.13

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.14

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.15

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Passaggio 3.16

Sposta l'esponente $3$ da $\cos^{3} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

Passaggio 3.17

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Passaggio 3.18

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot 0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cdot 1}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.1.8

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (0)}}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1^{3}}}$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (0)}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cdot 1}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $25$ per $1$ .

$\frac{- 1 + 25}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.3.6

Somma $- 1$ e $25$ .

$\frac{24}{\frac{4}{1}}$

Passaggio 5.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{24}{4}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1}$

Passaggio 5.5.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6$