Calcolo Esempi

$y = \frac{9}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ come ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{- 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 8$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 8$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 8$ .

$9 (- 2 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 18 ({(3 x^{2} + 8)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (6 x + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (6 x + 0)$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$- 18 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} (6 x)$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $6$ per $- 18$ .

$- 108 {(3 x^{2} + 8)}^{- 3} x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 108 \frac{1}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}} x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 108$ e $\frac{1}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{- 108}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}} x$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{108}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}} x$

Passaggio 4.2.3

$x$ e $\frac{108}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$- \frac{x \cdot 108}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $108$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{108 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$