Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1^{+}} x^{\frac{1}{1 - x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{1 - x}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})$ spostando $\frac{1}{1 - x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{1 - x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\ln (x)}{1 - x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 1^{+}} x)}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - lim_{x \to 1^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$e^{\frac{0}{1 - lim_{x \to 1^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{1 - 1}}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}}$

Passaggio 3.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}}$

Passaggio 3.3.6

Sottrai $1$ da $0$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x \cdot - 1}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to 1^{+}} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x}}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} x}}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to 1^{+}} x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$e^{- \frac{1}{1}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{1}{1}}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- 1}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$