Calcolo Esempi

${(x + 2)}^{2} - {(y - 6)}^{2} = 45$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $45$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{45} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{45} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{45} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3 \sqrt{5}$

$b = 3 \sqrt{5}$

$k = 6$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 6)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{5}}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{9 \cdot 5^{1} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{9 \cdot 5 + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\sqrt{45 + {(3 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{45 + 3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{45 + 9 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{45 + 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{45 + 9 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\sqrt{45 + 45}$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $45$ e $45$ .

$\sqrt{90}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $90$ come $3^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $9$ da $90$ .

$\sqrt{9 (10)}$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{10}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + 3 \sqrt{5}, 6)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - 3 \sqrt{5}, 6)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 2 + 3 \sqrt{5}, 6), (- 2 - 3 \sqrt{5}, 6)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + 3 \sqrt{10}, 6)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - 3 \sqrt{10}, 6)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 2 + 3 \sqrt{10}, 6), (- 2 - 3 \sqrt{10}, 6)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{5}}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{1} + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5 + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{45 + {(3 \sqrt{5})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{45 + 3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{45 + 9 {\sqrt{5}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{45 + 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{45 + 9 \cdot 5^{1}}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{45 + 9 \cdot 5}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.8

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{45 + 45}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.9

Somma $45$ e $45$ .

$\frac{\sqrt{90}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.10

Riscrivi $90$ come $3^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Scomponi $9$ da $90$ .

$\frac{\sqrt{9 (10)}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 10}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{10}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{10}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.3

Combina $\sqrt{10}$ e $\sqrt{5}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Passaggio 8.3.4

Dividi $10$ per $5$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2}}{3 \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2}}{3 \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Passaggio 9.3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Passaggio 9.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) + 6$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) + 6$

Passaggio 11.2

Semplifica $1 \cdot (x - (- 2)) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $x - (- 2)$ per $1$ .

$y = x - (- 2) + 6$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = x + 2 + 6$

Passaggio 11.2.2

Somma $2$ e $6$ .

$y = x + 8$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) + 6$

Passaggio 12.2

Semplifica $- 1 \cdot (x - (- 2)) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) + 6$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 + 6$

Passaggio 12.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 2 + 6$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - x - 2 + 6$

Passaggio 12.2.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$y = - x + 4$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = x + 8, y = - x + 4$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, 6)$

Vertici: $(- 2 + 3 \sqrt{5}, 6), (- 2 - 3 \sqrt{5}, 6)$

Fuochi: $(- 2 + 3 \sqrt{10}, 6), (- 2 - 3 \sqrt{10}, 6)$

Eccentricità: $\sqrt{2}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asintoti: $y = x + 8$ , $y = - x + 4$

Passaggio 15