Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + e^{x} - \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + e^{x} - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 x + e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 x + e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 x + e^{x} - - \sin (x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x + e^{x} + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x + e^{x} + \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + e^{x} + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 + e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 + e^{x} + \cos (x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 + e^{x} + \cos (x)$ .

$2 + e^{x} + \cos (x)$