Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x - 4}{x^{2} - 5 x + 6} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x - 4}{(x - 3) (x - 2)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 4) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $x - 4$ per $1$ .

$x - 4 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x - 4 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$x - 4 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$x - 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x - 4 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 3)$ per $1$ .

$x - 4 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x - 4 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$x - 4 = A x - 2 A + B x - 3 B$

Passaggio 1.1.8

Sposta $- 2 A$ .

$x - 4 = A x + B x - 2 A - 3 B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

$1 = A + B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 4 = - 2 A - 3 B$ con $1 - B$ .

$- 4 = - 2 (1 - B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 2 (1 - B) - 3 B$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 4 = - 2 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 4 = - 2 + 2 B - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 + 2 B - 3 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $3 B$ da $2 B$ .

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $- 4 = - 2 - B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 - B = - 4$ .

$- 2 - B = - 4$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- B = - 4 + 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$- B = - 2$

$A = 1 - B$

$- B = - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 2$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $2$ .

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A = 1 - 2$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 1, B = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{x - 3} + \frac{2}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 3} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 3} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = x - 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = x - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Passaggio 4.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x - 3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Passaggio 4.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Passaggio 7.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Passaggio 7.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\ln (| u_{1} |)$ per $- 2$ e per $- 3$ .

$- ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Passaggio 9.2

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $- 1$ e per $- 2$ .

$- ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 9.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Passaggio 9.4

Semplifica.

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Passaggio 9.4.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$- \ln (\frac{2}{| - 3 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Passaggio 9.4.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Passaggio 9.4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

Passaggio 9.4.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimale:

$- 0.98082925 \dots$