Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x^{4}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$60 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + 24 x - 24$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{2} + 24 x - 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Passaggio 4.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$120 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$120 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$120 x + 24 + 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $120 x + 24$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x + 24$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $120 x + 24$ .

$120 x + 24$