Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} + 6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + x - 2$ e $g (x) = x^{3} + 6$ .

$\frac{(x^{3} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2] - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1 + 0) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.9.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - 3 (x^{2} + x - 2) x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) + (- 3 x^{2} - 3 x - 3 \cdot - 2) x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Espandi $(x^{3} + 6) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x + 1) + 6 (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{2 + 2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 (x^{2} x) - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{2 + 1} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3 x^{4}$ da $2 x^{4}$ .

$\frac{- x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $3 x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x + 6 + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (x^{4}) - (2 x^{3}) + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (2 x^{3})$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3}) + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} + 2 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $12 x$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) - (- 12 x) + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.14

Riscrivi $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)$ come $- 1 (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$