Calcolo Esempi

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{- 3}{x^{2}}$ e ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

$3$ e $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.6

Combina.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Passaggio 3.7.2

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $3 {(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$