Calcolo Esempi

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

$\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

$2$ e $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11.4

$\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ e $x$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 16

Scomponi $2$ da $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 17.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17.4

Dividi $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ per $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 19

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 20.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 20.1.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 20.1.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 20.1.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $- {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 20.1.4

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 20.2

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{1})}{x^{2}}$

Passaggio 20.3

Semplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Passaggio 20.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}{x^{2}}$

Passaggio 20.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 20.6

Sottrai $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}$