Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} x^{3} {(x^{4} + 2 x^{3})}^{- 1}$

Passaggio 1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \frac{1}{x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2

$x^{3}$ e $\frac{1}{x^{4} + 2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{4} + 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 2.1.3.6.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.6.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3}]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 (3 x^{2})}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 6 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{0}{4 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.3.7.1.4

Moltiplica $6$ per $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 4.1.3.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 6 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 6 \cdot 2 x}$

Passaggio 4.3.5.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 x^{2} + 12 x}$

Passaggio 5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{12 x^{2} + 12 x}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 12 x}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 12 x}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Passaggio 6.1.3.2

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Passaggio 6.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}$

Passaggio 6.1.3.4

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 6.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 6.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}$

Passaggio 6.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{12 \cdot 0 + 12 \cdot 0}$

Passaggio 6.1.3.6.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0 + 12 \cdot 0}$

Passaggio 6.1.3.6.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 6.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$3 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{12 x^{2} + 12 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [12 x^{2} + 12 x]}$

Passaggio 6.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Passaggio 6.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Passaggio 6.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Passaggio 6.3.4.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + \frac{d}{d x} [12 x]}$

Passaggio 6.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.5.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{24 x + 12}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 24 x + 12}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 24 x + 12}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 24 x + lim_{x \to 0} 12}$

Passaggio 7.4

Sposta il termine $24$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 12}$

Passaggio 7.5

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 lim_{x \to 0} x + 12}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{24 \cdot 0 + 12}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 \frac{1}{24 \cdot 0 + 12}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $24$ per $0$ .

$6 \frac{1}{0 + 12}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$6 (\frac{1}{12})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 \frac{1}{6 (2)}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$