Calcolo Esempi

$lim_{x \to a} \frac{x - a}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to a} x - a}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} a}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x - a}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$\frac{a - a}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sottrai $a$ da $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} \sqrt{x} - lim_{x \to a} \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to a} x} - lim_{x \to a} \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $\sqrt{a}$ che è costante, mentre $x$ tende a $a$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to a} x} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{a} - \sqrt{a}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $\sqrt{a}$ da $\sqrt{a}$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to a} \frac{x - a}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x - a]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x - a]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} - \sqrt{a}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{a}]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- \sqrt{a}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sqrt{a}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Passaggio 1.3.9

Semplifica.

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Passaggio 1.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9.2.2

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to a} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to a} 1 (2 \sqrt{x})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to a} 2 \sqrt{x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to a} \sqrt{x}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$2 \sqrt{lim_{x \to a} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $a$ per $x$ .

$2 \sqrt{a}$