Calcolo Esempi

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Passaggio 2

Espandi il lato di destra.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Passaggio 2.5

$\frac{x}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x \ln (x)}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.5.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 3.2.5.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Passaggio 3.2.6

Semplifica.

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Passaggio 3.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Passaggio 3.2.6.3

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.6.4

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{2}$ e ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$