Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $- \frac{y}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

Passaggio 1.2.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 1.2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $y$ da $y - y x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $y$ da $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.5

Moltiplica $y$ per $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Passaggio 2.3.3.2.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.6.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.3.3.1.1

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

Passaggio 3.6.3.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$