Matematica di base Esempi

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{1}{n^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $n^{2} {(n + 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{n^{2}}$ per $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ per $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2} n^{2}} + 1$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di ${(n + 1)}^{2} n^{2}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(n + 1)}^{2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${(n + 1)}^{2}$ come $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{(n + 1) (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.2

Espandi $(n + 1) (n + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{n (n + 1) + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\frac{n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $n$ e $n$ .

$\frac{n^{2} + 2 n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.4

Somma $n^{2}$ e $n^{2}$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 6

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi ${(n + 1)}^{2}$ come $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} ((n + 1) (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Espandi $(n + 1) (n + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n (n + 1) + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Somma $n$ e $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + 2 n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} n^{2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $n^{2}$ per $n^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2 + 2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $n^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $n^{2}$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Sposta $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n \cdot n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $n$ per $n^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n^{1} n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{1 + 2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.7

Somma $2 n^{2}$ e $n^{2}$ .

$\frac{3 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.8

Riordina i termini.

$\frac{n^{4} + 2 n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$