Matematica di base Esempi

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = z$ e $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $z$ per $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- z$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $z$ per $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $z^{2} + z + 1$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $z^{2} + z + 1$ da $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ .

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{1}{2 z + 1}$ per $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $9$ da $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $9$ come $1$ più $8$ .

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $z$ per $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $2 z + 1$ .

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Passaggio 8.2

Dividi $z + 4$ per $1$ .

$z + 4$