Matematica di base Esempi

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- k$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - (k) - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $2$ più $- 3$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + (2 - 3) k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + 2 k - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(2 k^{2} + 2 k) - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k (k + 1) - 3 (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $k + 1$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $k + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{2 k - 3}{k + 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ per $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{2 k - 3}{k + 2}$ per $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $(k + 2) ((k + 1) (k - 1))$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{k^{2} (k + 2) - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$\frac{k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{k^{3} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 \cdot k^{2} - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- (2 k) - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.7

Espandi $(k + 1) (k - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k (k - 1) + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.8.1.1

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1 \cdot k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.1.3

Riscrivi $- 1 k$ come $- k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.1.4

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.2

Somma $- k$ e $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + 0 - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.8.3

Somma $k^{2}$ e $0$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.9

Espandi $(- 2 k + 3) (k^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k (k^{2} - 1) + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Moltiplica $k$ per $k^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1.1

Sposta $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10.1.2

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1.2.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k^{1}) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2 + 1} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.10.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.11

Sottrai $2 k^{3}$ da $k^{3}$ .

$\frac{- k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 6.12

Somma $2 k^{2}$ e $3 k^{2}$ .

$\frac{- k^{3} + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $- k^{3}$ .

$\frac{- (k^{3}) + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.2

Scomponi $- 1$ da $5 k^{2}$ .

$\frac{- (k^{3}) - (- 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.3

Scomponi $- 1$ da $- (k^{3}) - (- 5 k^{2})$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.4

Scomponi $- 1$ da $2 k$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.6

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Riscrivi $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ come $- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ .

$\frac{- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Passaggio 7.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$