Matematica di base Esempi

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \div \frac{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $8 r^{3}$ come ${(2 r)}^{3}$ .

$\frac{{(2 r)}^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 2 r$ e $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) ({(2 r)}^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola del prodotto a $2 r$ .

$\frac{(2 r + s) (2^{2} r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Scomponi $s$ da $2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $s$ da $2 r^{2} \cdot (3 r s)$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $s$ da $s^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $s$ da $s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{2} r + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $r^{2}$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $r$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r \cdot r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $r$ per $r^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r^{1} r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{1 + 2} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $4 r^{2}$ come ${(2 r)}^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 r s = 2 \cdot (2 r) \cdot s$

Passaggio 4.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 r$ e $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Scomponi $3$ da $12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $3$ da $12 r^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) - 6 r + 3 s^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $3$ da $- 6 r$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 s^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $3$ da $3 s^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 (s^{2})}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $3$ da $3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r)$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})}$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $3$ da $3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$

Passaggio 5.2

Combina.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2}) {(2 r + s)}^{2}}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Passaggio 6

Moltiplica $2 r + s$ per ${(2 r + s)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta ${(2 r + s)}^{2}$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} (2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ${(2 r + s)}^{2}$ per $2 r + s$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $2 r + s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} {(2 r + s)}^{1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(2 r + s)}^{2 + 1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Passaggio 6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Passaggio 7

Sposta $3$ alla sinistra di $s (6 r^{3} + s)$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{3 s (6 r^{3} + s) (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$