Matematica di base Esempi

$\frac{a}{1 - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{a}{1^{2} - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = a$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{a}{1 + a^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ per $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{a}{1 + a^{2}}$ per $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Scomponi $a$ da $a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))$ .

$\frac{a (1 + a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.2

Sia $u = 1$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1$ con $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $a^{2}$ da $a^{2}$ .

$\frac{a (u + u^{2} + 0)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $u + u^{2}$ e $0$ .

$\frac{a (u + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.3

Scomponi $u$ da $u + u^{2}$ .

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Passaggio 6.3.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{a (u^{1} + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$\frac{a (u \cdot 1 + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$\frac{a (u \cdot 1 + u \cdot u)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.3.4

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u \cdot u$ .

$\frac{a (u (1 + u))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1$ .

$\frac{a (1 (1 + 1))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{a (1 \cdot 2)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{a \cdot 2}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Passaggio 7

Sposta $2$ alla sinistra di $a$ .

$\frac{2 a}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$