Matematica di base Esempi

$8 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$8 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$8 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 (2) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - 1$

Passaggio 1.5.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Passaggio 1.5.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Passaggio 1.5.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Passaggio 1.5.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Passaggio 1.5.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 1.5.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 1.5.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 1.5.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 1.5.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 1.5.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.5.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - 1$

Passaggio 1.5.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - 1$

Passaggio 1.5.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{6}$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.7.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.7.3

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.8

$\sqrt{6}$ e $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 1.9.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Passaggio 1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Passaggio 1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.10

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 1.12.4.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + (- \sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.7

Moltiplica $- \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.7.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2 \cdot 6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.7.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.8

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Passaggio 1.12.8.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} - 1$

Passaggio 1.12.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} - 1$

Passaggio 1.12.8.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.8.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.9.1

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.9.1.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 1.12.9.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.9.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2} - 1$

Passaggio 1.12.9.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{2} - 1$

Passaggio 1.13

Sottrai $2$ da $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2} - 1$

Passaggio 1.14

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{2} - 1$

Passaggio 1.15

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{2} - 1$

Passaggio 1.16

Dividi $4$ per $2$ .

$2 - 1$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da $2$ .

$1$