Matematica di base Esempi

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

Passaggio 1

Sottrai $11 \cdot 10^{3 y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Passaggio 2

Riscrivi $10^{6 y}$ come un elevamento a potenza.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Passaggio 3

Riscrivi $10^{3 y}$ come un elevamento a potenza.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

Passaggio 4

Sostituisci $10^{y}$ per $u$ .

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

Passaggio 5

Moltiplica $- 11$ per $u^{3}$ .

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

Passaggio 6

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $u^{6}$ come ${(u^{3})}^{2}$ .

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sia $u = u^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $u^{3}$ con $u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.1.2

Riscrivi $- 11$ come $1$ più $- 12$ .

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Passaggio 6.2.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Passaggio 6.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $u^{3}$ .

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $3 u^{3} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $3 u^{3} + 1$ uguale a $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $3 u^{3} + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 u^{3} = - 1$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u^{3} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u^{3} = - 1$ .

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.2.1.2

Dividi $u^{3}$ per $1$ .

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{3}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.4

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Passaggio 6.4.2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ alla potenza di $1$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3}$ come $3^{\frac{1}{3}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Passaggio 6.4.2.4.7.5.5

Calcola l'esponente.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Passaggio 6.4.2.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ come $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Passaggio 6.4.2.4.8.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Passaggio 6.5

Imposta $u^{3} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $u^{3} - 4$ uguale a $0$ .

$u^{3} - 4 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $u^{3} - 4 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{3} = 4$

Passaggio 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ vera.

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

Passaggio 7

Sostituisci $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ per $u$ in $u = 10^{y}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

Passaggio 8

Risolvi $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ .

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Passaggio 8.2

Prendi il logaritmo in base $10$ di entrambi i lati dell'equazione per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

Passaggio 8.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 8.4

Non c'è soluzione per $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Sostituisci $\sqrt[3]{4}$ per $u$ in $u = 10^{y}$ .

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

Passaggio 10

Risolvi $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ .

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

Passaggio 10.2

Prendi il logaritmo in base $10$ di entrambi i lati dell'equazione per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Espandi $\log (10^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

Passaggio 10.3.2

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Forma decimale:

$y = 0.20068666 \dots$