Matematica di base Esempi

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

Passaggio 1

Risolvi per $R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ .

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

Passaggio 1.2

Semplifica $r \cdot (R - H)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ come ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica.

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(r R - r H)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(r R - r H)}^{2}$ come $(r R - r H) (r R - r H)$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(r R - r H) (r R - r H)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1.1

Sposta $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $R$ per $R$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Sposta $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $R$ per $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.4.1

Sposta $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.5.1

Sposta $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.6.1

Sposta $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.6.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

Passaggio 3.3.1.3.1.7

Moltiplica $H$ per $H$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.7.1

Sposta $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.3.1.7.2

Moltiplica $H$ per $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.3.1.8

Moltiplica $- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.2

Moltiplica $r^{2}$ per $1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $r^{2} H R$ da $- r^{2} R H$ .

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Passaggio 3.3.1.3.2.1

Sposta $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.2.2

Sottrai $r^{2} H R$ da $- r^{2} H R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $H$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $H$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

Passaggio 4.2

Sottrai $R^{2} H^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $H$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $r^{2} R^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

Passaggio 4.3.2

Combina i termini opposti in $R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $R^{2} r^{2}$ e $- r^{2} R^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $R^{2} r^{2}$ da $R^{2} r^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $H$ da $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $H$ da $- 2 r^{2} H R$ .

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $H$ da $r^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $H$ da $- R^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Passaggio 4.4.4

Scomponi $H$ da $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Passaggio 4.4.5

Scomponi $H$ da $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $H$ uguale a $0$ .

$H = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ uguale a $0$ e risolvi per $H$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ uguale a $0$ .

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ per $H$ .

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Passaggio 4.7.2.1

Somma $2 r^{2} R$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.2

Scomponi $H$ da $r^{2} H - R^{2} H$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Scomponi $H$ da $r^{2} H$ .

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.2.2

Scomponi $H$ da $- R^{2} H$ .

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.2.3

Scomponi $H$ da $H r^{2} + H (- R^{2})$ .

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.3

Scomponi.

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Passaggio 4.7.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = r$ e $b = R$ .

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

Passaggio 4.7.2.4

Dividi per $(r + R) (r - R)$ ciascun termine in $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.4.1

Dividi per $(r + R) (r - R)$ ciascun termine in $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ .

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Passaggio 4.7.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.7.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $r + R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Passaggio 4.7.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Passaggio 4.7.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $r - R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Passaggio 4.7.2.4.2.2.2

Dividi $H$ per $1$ .

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ vera.

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$