Matematica di base Esempi

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ come $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ come $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Passaggio 4.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini contenenti $n$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Passaggio 4.3.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ per $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Passaggio 4.5

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Passaggio 4.6

Semplifica $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $2 (1 + 4^{n})$ per $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Passaggio 4.6.4

Moltiplica $2 \cdot 4^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Passaggio 4.6.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Passaggio 4.6.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Passaggio 4.7

Sposta tutti i termini contenenti $n$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sottrai $2^{1 + 2 n}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Espandi $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Moltiplica $2^{n}$ per $2^{n}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.1.2

Somma $n$ e $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.2

Moltiplica $2^{n}$ per $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.3

Moltiplica $2^{- n}$ per $2^{n}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.3.2

Somma $- n$ e $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.4

Semplifica $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.7.2.2.5

Moltiplica $2^{- n}$ per $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Passaggio 4.8

Sposta tutti i termini non contenenti $n$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Passaggio 4.9

Riscrivi $2^{1 + 2 n}$ come $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Passaggio 4.10

Riscrivi $2^{2 n}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Passaggio 4.11

Riscrivi $2^{- n}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Passaggio 4.12

Riscrivi $2^{2 n}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Passaggio 4.13

Rimuovi le parentesi.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Passaggio 4.14

Sostituisci $2^{n}$ per $u$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Passaggio 4.15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Passaggio 4.15.2

Calcola l'esponente.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Passaggio 4.15.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Passaggio 4.16

Sottrai $2 u^{2}$ da $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Passaggio 4.17

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, u, 1$

Passaggio 4.17.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 4.17.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.1

Moltiplica ogni termine in $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ per $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.2.1.1

Moltiplica $u^{2}$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.2.1.1.1

Sposta $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.1.2

Moltiplica $u$ per $u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.2.1.1.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Passaggio 4.17.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Passaggio 4.17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.2.3.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Passaggio 4.17.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.1

Sottrai $u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Passaggio 4.17.3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.2.1

Riordina i termini.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Passaggio 4.17.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Passaggio 4.17.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Passaggio 4.17.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Passaggio 4.17.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4.17.3.4

Imposta $- u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.4.1

Imposta $- u + 1$ uguale a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Passaggio 4.17.3.4.2

Risolvi $- u + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u = - 1$

Passaggio 4.17.3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.17.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.17.3.4.2.2.2.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.17.3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$u = 1$

Passaggio 4.17.3.5

Imposta $u^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.5.1

Imposta $u^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4.17.3.5.2

Risolvi $u^{2} + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} = - 1$

Passaggio 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 4.17.3.5.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \pm i$

Passaggio 4.17.3.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.3.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = i$

Passaggio 4.17.3.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - i$

Passaggio 4.17.3.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = i, - i$

Passaggio 4.17.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ vera.

$u = 1, i, - i$

Passaggio 4.18

Sostituisci $1$ per $u$ in $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Passaggio 4.19

Risolvi $1 = 2^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Riscrivi l'equazione come $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Passaggio 4.19.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Passaggio 4.19.3

Espandi $\ln (2^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 4.19.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Passaggio 4.19.5

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $n \ln (2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $n \ln (2) = 0$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Passaggio 4.19.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Passaggio 4.19.5.2.1.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Passaggio 4.19.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.3.1

Dividi $0$ per $\ln (2)$ .

$n = 0$

Passaggio 4.20

Sostituisci $i$ per $u$ in $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Passaggio 4.21

Risolvi $i = 2^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.1

Riscrivi l'equazione come $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Passaggio 4.21.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Passaggio 4.21.3

Espandi $\ln (2^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Passaggio 4.21.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $n \ln (2) = \ln (i)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $n \ln (2) = \ln (i)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.21.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.21.4.2.1.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.22

Sostituisci $- i$ per $u$ in $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Passaggio 4.23

Risolvi $- i = 2^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.1

Riscrivi l'equazione come $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Passaggio 4.23.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Passaggio 4.23.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- i)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.23.4

Non c'è soluzione per $2^{n} = - i$

Nessuna soluzione

Passaggio 4.24

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$