Matematica di base Esempi

$(2 i + 3 j + 5 k) \cdot (i + 3 j + 2 k)$

Passaggio 1

Espandi $(2 i + 3 j + 5 k) (i + 3 j + 2 k)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 i i + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $2 i i$ .

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Passaggio 2.1.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$2 (i^{1} i) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.1.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$2 (i^{1} i^{1}) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 i^{1 + 1} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 i^{2} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$2 \cdot - 1 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 + 6 i j + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j \cdot j + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $j$ per $j$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1

Sposta $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 (j \cdot j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $j$ per $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 \cdot 2 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 \cdot 3 k j + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.12

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 k (2 k)$

Passaggio 2.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k \cdot k$

Passaggio 2.14

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.14.1

Sposta $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 (k \cdot k)$

Passaggio 2.14.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k^{2}$

Passaggio 2.15

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Passaggio 3

Somma $6 i j$ e $3 j i$ .

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Passaggio 3.1

Sposta $i$ .

$- 2 + 6 j i + 3 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Passaggio 3.2

Somma $6 j i$ e $3 j i$ .

$- 2 + 9 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Passaggio 4

Somma $4 i k$ e $5 k i$ .

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Passaggio 4.1

Sposta $i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 4 k i + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Passaggio 4.2

Somma $4 k i$ e $5 k i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 9 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Passaggio 5

Somma $6 j k$ e $15 k j$ .

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Passaggio 5.1

Sposta $k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 15 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Passaggio 5.2

Somma $6 j k$ e $15 j k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Passaggio 6

Sposta $- 2$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2} - 2$

Passaggio 7

Sposta $9 k i$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 k i - 2$

Passaggio 8

Sposta $9 j i$ .

$9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 j i + 9 k i - 2$