Matematica di base Esempi

$\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = \frac{- 2}{z^{2} - 1}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = \frac{- 2}{z^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = z$ e $b = 1$ .

$\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = \frac{- 2}{(z + 1) (z - 1)}$

Passaggio 1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$z - 1, z - 1, (z + 1) (z - 1)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $z - 1$ è $z - 1$ stesso.

$(z - 1) = z - 1$

$(z - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $z + 1$ è $z + 1$ stesso.

$(z + 1) = z + 1$

$(z + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $z - 1$ è $z - 1$ stesso.

$(z - 1) = z - 1$

$(z - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $z - 1, z - 1, z + 1, z - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(z - 1) (z + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(z - 1) (z + 1)$ ciascun termine in $\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{z - 1} - \frac{1}{z - 1} = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)}$ per $(z - 1) (z + 1)$ .

$\frac{2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) - \frac{1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) - \frac{1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (z + 1) - \frac{1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 z + 2 \cdot 1 - \frac{1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 z + 2 - \frac{1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $z - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{z - 1}$ nel numeratore.

$2 z + 2 + \frac{- 1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 z + 2 + \frac{- 1}{z - 1} ((z - 1) (z + 1)) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 z + 2 - (z + 1) = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 z + 2 - z - 1 \cdot 1 = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 z + 2 - z - 1 = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $z$ da $2 z$ .

$z + 2 - 1 = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$z + 1 = - \frac{2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(z - 1) (z + 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{(z + 1) (z - 1)}$ nel numeratore.

$z + 1 = \frac{- 2}{(z + 1) (z - 1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $(z - 1) (z + 1)$ da $(z + 1) (z - 1)$ .

$z + 1 = \frac{- 2}{(z - 1) (z + 1) (1)} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$z + 1 = \frac{- 2}{(z - 1) (z + 1) \cdot 1} ((z - 1) (z + 1))$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$z + 1 = - 2$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $z$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 2 - 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$z = - 3$