Matematica di base Esempi

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 5^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = z$ e $b = 5$ .

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$z - 5, z + 5, (z + 5) (z - 5)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $z - 5$ è $z - 5$ stesso.

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $z + 5$ è $z + 5$ stesso.

$(z + 5) = z + 5$

$(z + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $z - 5$ è $z - 5$ stesso.

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $z - 5, z + 5, z + 5, z - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(z - 5) (z + 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(z - 5) (z + 5)$ ciascun termine in $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ per $(z - 5) (z + 5)$ .

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $z - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$z (z + 5) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$z \cdot z + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $z$ per $z$ .

$z^{2} + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta $5$ alla sinistra di $z$ .

$z^{2} + 5 \cdot z + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $z + 5$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Scomponi $z + 5$ da $(z - 5) (z + 5)$ .

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$z^{2} + 5 z + 5 (z - 5) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$z^{2} + 5 z + 5 z + 5 \cdot - 5 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$z^{2} + 5 z + 5 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.2.2

Somma $5 z$ e $5 z$ .

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(z - 5) (z + 5)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(z - 5) (z + 5)$ da $(z + 5) (z - 5)$ .

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) (1)} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) \cdot 1} ((z - 5) (z + 5))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$z^{2} + 10 z - 25 = 50$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $50$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{2} + 10 z - 25 - 50 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $50$ da $- 25$ .

$z^{2} + 10 z - 75 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $z^{2} + 10 z - 75$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 75$ e la cui somma è $10$ .

$- 5, 15$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(z - 5) (z + 15) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z - 5 = 0$

$z + 15 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $z - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $z - 5$ uguale a $0$ .

$z - 5 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 5$

Passaggio 4.6

Imposta $z + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $z + 15$ uguale a $0$ .

$z + 15 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 15$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(z - 5) (z + 15) = 0$ vera.

$z = 5, - 15$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$ vera.

$z = - 15$