Matematica di base Esempi

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{a + 6}$ come ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ come $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ .

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{2 a}$ alla potenza di $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2 a}$ alla potenza di $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2 a}}^{2}$ come $2 a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 a}$ come ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \sqrt{2 a}$ come $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Riscrivi $- 1 \sqrt{2 a}$ come $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $\sqrt{2 a}$ da $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $- 2 \sqrt{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ .

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 2 \sqrt{2 a}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $2 a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $2 a$ da $a$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $1$ da $6$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 a}$ come ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 a$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Metti in evidenza il valore negativo.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.6

Somma $2$ e $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.9

Semplifica.

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(- a + 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(- a + 5)}^{2}$ come $(- a + 5) (- a + 5)$ .

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(- a + 5) (- a + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $5 a$ da $- 5 a$ .

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

Passaggio 6

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $a$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $8 a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $8 a$ da $- 10 a$ .

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

Passaggio 6.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 18$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3

Sottrai $100$ da $324$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.4

Riscrivi $224$ come $4^{2} \cdot 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $224$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica $\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

Passaggio 6.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ vera.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Forma decimale:

$a = 16.48331477 \dots$