Matematica di base Esempi

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

Passaggio 2.2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Passaggio 2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Passaggio 2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ come $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5

Espandi $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $11$ per $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.3

Riscrivi $121$ come $11^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.6

Moltiplica $11$ per $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8

Moltiplica $7$ per $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.10

Moltiplica $7$ per $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

Passaggio 2.6.1.11

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

Passaggio 2.6.1.12

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

Passaggio 2.6.2

Somma $11$ e $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.6.3

Somma $\sqrt{77}$ e $\sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $18 + 2 \sqrt{77}$ e $4$ .

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

Passaggio 2.7.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

Passaggio 2.7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

Passaggio 2.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Passaggio 3

Sottrai $b \sqrt{7}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$