Matematica di base Esempi

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} = a - b \sqrt{77}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}$

Passaggio 2.2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{77} + \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Passaggio 2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Passaggio 2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${(\sqrt{11} - \sqrt{7})}^{2}$ come $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5

Espandi $(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $11$ per $11$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.3

Riscrivi $121$ come $11^{2}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $\sqrt{11} (- \sqrt{7})$ .

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Passaggio 2.6.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.5.2

Moltiplica $11$ per $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{7} \sqrt{11} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.6

Moltiplica $- \sqrt{7} \sqrt{11}$ .

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Passaggio 2.6.1.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{11 \cdot 7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.6.2

Moltiplica $11$ per $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{4}$

Passaggio 2.6.1.7

Moltiplica $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Passaggio 2.6.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7.2

Moltiplica $\sqrt{7}$ per $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7.4

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{4}$

Passaggio 2.6.1.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

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Passaggio 2.6.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.6.1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7^{1}}{4}$

Passaggio 2.6.1.8.5

Calcola l'esponente.

$a - b \sqrt{77} = \frac{11 - \sqrt{77} - \sqrt{77} + 7}{4}$

Passaggio 2.6.2

Somma $11$ e $7$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{18 - \sqrt{77} - \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.6.3

Sottrai $\sqrt{77}$ da $- \sqrt{77}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{18 - 2 \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $18 - 2 \sqrt{77}$ e $4$ .

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9) - 2 \sqrt{77}}{4}$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{77}$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9) + 2 (- \sqrt{77})}{4}$

Passaggio 2.7.3

Scomponi $2$ da $2 (9) + 2 (- \sqrt{77})$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{4}$

Passaggio 2.7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$a - b \sqrt{77} = \frac{2 (9 - \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$a - b \sqrt{77} = \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

Passaggio 3

Somma $b \sqrt{77}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a = \frac{9 - \sqrt{77}}{2} + b \sqrt{77}$