Matematica di base Esempi

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a$ e $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Passaggio 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $a^{2}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $a + 5, a - 5$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

I fattori di $a^{2}$ sono $a \cdot a$ , che corrisponde a $a$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a \cdot a$

Passaggio 2.8

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2}$

Passaggio 2.9

Il fattore di $a + 5$ è $a + 5$ stesso.

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.10

Il fattore di $a - 5$ è $a - 5$ stesso.

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo di $a + 5, a - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(a + 5) (a - 5)$

Passaggio 2.12

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ ciascun termine in $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ per $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $a^{2}$ da $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(a + 5) (a - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Combina i termini opposti in $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $a \cdot - 5$ e $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $- 5 a$ e $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Somma $a \cdot a$ e $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $9$ per $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $(a + 5) (a - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Scomponi $(a + 5) (a - 5)$ da $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.2.2

Somma $9 a^{2}$ e $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ per $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Passaggio 3.3.4

Sposta $5$ alla sinistra di $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Passaggio 3.3.5

Espandi $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Passaggio 3.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Passaggio 3.3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1

Moltiplica $a^{3}$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1.1

Moltiplica $a^{3}$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1.1.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.3

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.3.1

Sposta $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.3.2

Moltiplica $a$ per $a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.3.2.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.3.6.1.4

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Passaggio 3.3.6.2

Somma $- 5 a^{3}$ e $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Passaggio 3.3.6.3

Somma $a^{4}$ e $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $a$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Passaggio 4.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $25 a^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Passaggio 4.2.2

Somma $225$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $25 a^{2}$ da $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $u = a^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Passaggio 4.5

Scomponi $u^{2} - 50 u + 225$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $225$ e la cui somma è $- 50$ .

$- 45, - 5$

Passaggio 4.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $u - 45$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $u - 45$ uguale a $0$ .

$u - 45 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $45$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 45$

Passaggio 4.8

Imposta $u - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta $u - 5$ uguale a $0$ .

$u - 5 = 0$

Passaggio 4.8.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 5$

Passaggio 4.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 45) (u - 5) = 0$ vera.

$u = 45, 5$

Passaggio 4.10

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = a^{2}$ nell'equazione risolta.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Passaggio 4.11

Risolvi la prima equazione per $a$ .

$a^{2} = 45$

Passaggio 4.12

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Passaggio 4.12.2

Semplifica $\pm \sqrt{45}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Passaggio 4.12.2.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Passaggio 4.12.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Passaggio 4.12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$a = 3 \sqrt{5}$

Passaggio 4.12.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Passaggio 4.12.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Passaggio 4.13

Risolvi la seconda equazione per $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 5$

Passaggio 4.14

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Rimuovi le parentesi.

$a^{2} = 5$

Passaggio 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 4.14.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$a = \sqrt{5}$

Passaggio 4.14.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$a = - \sqrt{5}$

Passaggio 4.14.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 4.15

La soluzione di $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ è $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Forma decimale:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$