Matematica di base Esempi

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $r^{2} - 2 r - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Passaggio 1.2

Scomponi $r^{2} - 2 r - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $r - 4$ è $r - 4$ stesso.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $r + 2$ è $r + 2$ stesso.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $r - 4$ è $r - 4$ stesso.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $r + 2$ è $r + 2$ stesso.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(r - 4) (r + 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(r - 4) (r + 2)$ ciascun termine in $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ per $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(r - 4) (r + 2)$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $r + 2$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $r + 2$ da $(r - 4) (r + 2)$ .

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.3

Espandi $(r - 3) (r - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.4.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Sottrai $3 r$ da $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $7 r$ da $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 2$ e $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(r - 4) (r + 2)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sia $u = r$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $r$ con $u$ .

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Passaggio 4.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.3.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Poni $r - 3$ uguale a $0$ .

$r - 3 = 0$

Passaggio 4.5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 3$