Matematica di base Esempi

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $r^{3} = - \frac{1}{27}$ .

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

Passaggio 2

Somma $\frac{1}{27}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ come ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Passaggio 3.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = r$ e $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 3.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 3.5.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Passaggio 5

Imposta $r + \frac{1}{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $r + \frac{1}{3}$ uguale a $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Imposta $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ uguale a $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ per $r$ .

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $9$ , quindi semplifica.

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Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{r}{3}$ nel numeratore.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.1.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci i valori $a = 9$ , $b = - 3$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ vera.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$