Matematica di base Esempi

$1 = 64 {(r)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $64 r^{3} = 1$ .

$64 r^{3} = 1$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 r^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $64 r^{3}$ come ${(4 r)}^{3}$ .

${(4 r)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(4 r)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 4 r$ e $b = 1$ .

$(4 r - 1) ({(4 r)}^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la regola del prodotto a $4 r$ .

$(4 r - 1) (4^{2} r^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $4 r - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $4 r - 1$ uguale a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $4 r - 1 = 0$ per $r$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 r = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = 1$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Imposta $16 r^{2} + 4 r + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $16 r^{2} + 4 r + 1$ uguale a $0$ .

$16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$ per $r$ .

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$r = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1) = 0$ vera.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$