Matematica di base Esempi

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Passaggio 1

Dividi per $b^{r - p}$ ciascun termine in $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $b^{r - p}$ ciascun termine in $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $b^{r - p}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ per $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Passaggio 3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ come $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln (a^{q - r})$ spostando $q - r$ fuori dal logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Passaggio 3.3

Espandi $\ln (c^{p - q})$ spostando $p - q$ fuori dal logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Passaggio 4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ come $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Passaggio 4.2

Espandi $\ln (b^{r - p})$ spostando $r - p$ fuori dal logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Passaggio 4.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Passaggio 4.4

Sottrai $(r - p) \ln (b)$ da $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Passaggio 4.5

Rimuovi le parentesi.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $- (r - p) \ln (b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- - p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $p$ per $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Passaggio 7

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Passaggio 7.2

Riordina $q \ln (a)$ e $p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Passaggio 8

Riordina $- r \ln (b)$ e $p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Passaggio 10

Sposta tutti i termini non contenenti $q$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $p \ln (c)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Passaggio 10.2

Somma $r \ln (a)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Passaggio 10.3

Somma $p \ln (b)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Passaggio 10.4

Sottrai $r \ln (b)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 11

Scomponi $q$ da $q \ln (a) - q \ln (c)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Scomponi $q$ da $q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 11.2

Scomponi $q$ da $- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 11.3

Scomponi $q$ da $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 12

Riscrivi $- 1 \ln (c)$ come $- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Passaggio 13

Dividi per $\ln (a) - \ln (c)$ ciascun termine in $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Dividi per $\ln (a) - \ln (c)$ ciascun termine in $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (a) - \ln (c)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 13.2.1.2

Dividi $q$ per $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.9

Scomponi $- 1$ da $- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.10

Scomponi $- 1$ da $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.11.1

Riscrivi $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ come $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Passaggio 13.3.2.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$