Matematica di base Esempi

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.3

Per scrivere $\frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $45$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 1.6

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

I fattori primi per $45$ sono $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$45$ presenta fattori di $3$ e $15$ .

$3 \cdot 15$

Passaggio 2.3.2

$15$ presenta fattori di $3$ e $5$ .

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $45, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Passaggio 2.6

Moltiplica $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \cdot 5$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $9$ per $5$ .

$45$

Passaggio 2.7

Il fattore di $4 n - 3$ è $4 n - 3$ stesso.

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $4 n + 1$ è $4 n + 1$ stesso.

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ ciascun termine in $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ per $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $45$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $45$ da $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(4 n - 3) (4 n + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Sposta $n$ .

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Sottrai $12 n$ da $4 n$ .

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $16$ per $10$ .

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $- 8$ per $10$ .

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Moltiplica $10$ per $- 3$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.7

$45$ e $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 30$ e $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.3.1.2

$45$ e $\frac{n}{4 n + 1}$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $4 n + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Scomponi $4 n + 1$ da $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Passaggio 3.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Passaggio 3.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

Passaggio 3.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $45$ per $4$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $n$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $180 n^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

Passaggio 4.1.2

Somma $135 n$ a entrambi i lati dell'equazione.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $180 n^{2}$ da $160 n^{2}$ .

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

Passaggio 4.1.4

Somma $- 80 n$ e $135 n$ .

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $- 5$ da $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 20 n^{2}$ .

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi $- 5$ da $55 n$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi $- 5$ da $15$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Scomponi $- 5$ da $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Scomponi $- 5$ da $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e la cui somma è $b = - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 n$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $1$ più $- 12$ .

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Moltiplica $n$ per $1$ .

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

Passaggio 4.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 n + 1$ .

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $4 n + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $4 n + 1$ uguale a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $4 n + 1 = 0$ per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 n = - 1$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 n = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 n = - 1$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2.1.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$n = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4.5

Imposta $n - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $n - 3$ uguale a $0$ .

$n - 3 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 3$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ vera.

$n = - \frac{1}{4}, 3$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ vera.

$n = 3$