Matematica di base Esempi

$m^{3} + m^{2} - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $m^{3} + m^{2} - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 1^{2} - 2$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 1^{2} - 2$

Passaggio 1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 1 - 2$

Passaggio 1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $m - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{m^{3} + m^{2} - 2}{m - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $m^{3} + m^{2} - 2$ per $m - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$m$

$1$

$m^{3}$

$m^{2}$

$0 m$

$2$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $m^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $m$ .

					$m^{2}$
	$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$m^{2}$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			+	$m^{3}$	-	$m^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $m^{3} - m^{2}$

				$m^{2}$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$m^{2}$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$m^{2}$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 m^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $m$ .

				$m^{2}$	+	$2 m$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$m^{2}$	+	$2 m$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					+	$2 m^{2}$	-	$2 m$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 m^{2} - 2 m$

				$m^{2}$	+	$2 m$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$m^{2}$	+	$2 m$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$m^{2}$	+	$2 m$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$	-	$2$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 m$ per il termine di ordine più alto nel divisore $m$ .

				$m^{2}$	+	$2 m$	+	$2$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$	-	$2$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$m^{2}$	+	$2 m$	+	$2$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$	-	$2$
							+	$2 m$	-	$2$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 m - 2$

				$m^{2}$	+	$2 m$	+	$2$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$	-	$2$
							-	$2 m$	+	$2$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$m^{2}$	+	$2 m$	+	$2$
$m$	-	$1$		$m^{3}$	+	$m^{2}$	+	$0 m$	-	$2$
			-	$m^{3}$	+	$m^{2}$
					+	$2 m^{2}$	+	$0 m$
					-	$2 m^{2}$	+	$2 m$
							+	$2 m$	-	$2$
							-	$2 m$	+	$2$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$m^{2} + 2 m + 2$

Passaggio 1.6

Scrivi $m^{3} + m^{2} - 2$ come insieme di fattori.

$(m - 1) (m^{2} + 2 m + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$m - 1 = 0$

$m^{2} + 2 m + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $m - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $m - 1$ uguale a $0$ .

$m - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m = 1$

Passaggio 4

Imposta $m^{2} + 2 m + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $m^{2} + 2 m + 2$ uguale a $0$ .

$m^{2} + 2 m + 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $m^{2} + 2 m + 2 = 0$ per $m$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $m$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$m = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$m = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$m = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$m = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$m = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$m = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$m = - 1 \pm i$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$m = - 1 + i, - 1 - i$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(m - 1) (m^{2} + 2 m + 2) = 0$ vera.

$m = 1, - 1 + i, - 1 - i$